Slijedeći zacrtane i utabane putove matematičkih programa i sadržaja u udžbeniku često zaboravljamo ili nemamo vremena za zadatke koji nemaju samo jedno rješenje, zadatke koji se ne rješavaju po recepturi nego traže širi pristup, pronalaženje informacija, kritički odabir, zaključivanje, procjenjivanje te pronalaženje ili osmišljavanje matematičkog modela koji će nam pomoći riješiti postavljeni zadatak.
Pri odabiru zadataka kojima se potiče kreativnost i inovativnost trebali bismo zadovoljiti ove kriterije:
- zadatak ima kontekst koji je blizak učenicima ili ga mogu razumjeti nakon proučavanja dodatnih informacija
- zadatak ima jasno postavljene uvjete koje rješenje treba zadovoljavati
- rješenje je dostižno sa znanjem koje učenici imaju
- dostupne su dodatne informacije, ako je potrebno
- postupak rješavanja traži povezivanje različitih kompetencija
- složenost zadatka odgovara vremenu koje učenici imaju na raspolaganju za rješavanje.
Rješenja takvih zadataka ne moraju biti jednoznačno određena, može ih biti više, učenici trebaju uvidjeti različite načine rješavanja ili različita rješenja, a očekuje se i da argumentiraju zašto su odabrali neko rješenje. Iz naše učiteljske perspektive,, kod ovakvih zadataka najčešće nam je važniji proces pronalaženja rješenja i njegovo predstavljanje nego samo konačno rješenje. Što se odražava i u vrednovanju učenika pri rješavanju takvih zadataka.
Rješenja takvih zadataka učenici obavezno moraju predstaviti pred razredom, na panou, mrežnim stranicama ili na neki drugi način javno objaviti. Komponente predstavljanja i objavljivanja daju učenicima povratne informacije o vrijednosti njihovog rada te omogućavaju jezično izražavanje koje nam često u matematici nedostaje.
Metoda 270
Zanimljive i dobre rezultate daje Metoda 270 u kojoj učenici rješenja takvih zadataka pripremaju u obliku interaktivnih digitalnih sadržaja kojima ujedno i poučavaju svoje vršnjake. Omogućavanjem da učenici odaberu žele li svoje znanje iz određene matematičke cjeline pokazati na papirnatom pisanom ispitu ili interaktivnim digitalnim sadržajem prepuštamo im barem dio kontrole nad onime što uče te kako će pokazati naučeno.
Korištenjem takve metode rada potičemo učenika da budu samostalniji i dogovorni za svoje rezultate, razvijamo njihove organizacijske vještine jer trebaju osmisliti kako će njihov rad izgledati, što će sadržavati, koje dodatne sadržaje trebaju, tko im pri izradi može pomoći, kakve im tehnologije i oprema treba. Kako bi napravili jedan interaktivni, digitalni, matematički sadržaj učenici trebaju iskoristiti svoje vještine kreativnog izražavanja, a pri njegovom prezentiranju i vještine govorništva i prezentacije, koje često u matematici zanemarujemo. Pritom se računala, internet i mobilni uređaji koriste za stvaranje obrazovnih sadržaja, dakle dobivaju smislenu i svrhovitu ulogu u procesu obrazovanja uz istovremeni pomak učenika od pukih potrošača tuđih sadržaja prema kreativnim i inovativnim proizvođačima.
Naravno ne možete jednostavno reći učenicima: “Očekujem da napravite rad na temu prizmi”. Najprije morate sebi, a i njima jasno objasniti što očekujemo, kako ne bi bilo razočarenja krajnjim rezultatima. Kako i kod svih obrazovnih metoda, trebaju vam unaprijed zadani kriteriji vrednovanja i neka vrsta podsjetnika s nabrojanim elementima koje svaki rad treba sadržavati. teme koje su moji sedmaši i osmaši imali su bile: pravilna trostrana prizma, odnos dviju kružnica, dodekaedar, kaleidoskop, Talesov poučak, graf linearne funkcije [1]. Ukratko ništa egzotičnog u naslovu, ali je svaki rad morao imati sadržaj koji nije u udžbeniku. Tako da su neki radili origami modele, prema YouTube videima izrađivali predmete (kaleidoskop), povezivali sa sadržajima iz fizike (lom, svjetlosti). Za te dodatke je trebalo učenike lagano usmjeravati gdje da potraže ideje za dodatke pa ih time naviknuti da pretražuju internet i pronalaze odgovarajuće sadržaje.
Primjer popisa elemenata učeničkih radova, koji sam koristila:
- Objašnjenja
- Primjeri
- Zadaci
- Slike
- Video
- Kviz
- Njihov autorski rad (slike, video, kviz)
- Primjeri koji nisu iz udžbenika
- Interaktivni sadržaj i slike iz GeoGebre
- Dodatni sadržaji drugih autora.
Tijek stvaranja takvih radova je važan i učenicima u početku treba pomoći da uoče što radove čini dobrima, kako ih nadopuniti da budu kvalitetniji te ih savjetovati kako dobro predstaviti radove i uključiti publiku (suučenike) u predstavljanje. Tim postupcima omogućavamo učenicima da primijete postupke koje mi koristimo kod stvaranja obrazovnih sadržaja ili držanja nastave, a ujedno možemo i mi od učenika naučiti nešto novo.
Predlažem da učenicima preporučite jedan ili više računalnih programa ili online alata zbog lakše usporedbe rezultata i davanja tehničkih savjeta. Primijetila sam da je učinkoviti korištenje grupa na društvenim mrežama (Yammer na @skole.hr; [3] i [4]) za dijeljenje uputa, videozapisa s pojašnjenjima kako se neki program koristi te posebice za razmjenu ideja i davanje savjeta kako poboljšati rad. Moji učenici su koristili programe: GeoGebra, Sway, Office Mix, Blendspace i Zondle.
Može i offline
Naravno poticanje učenika na kreativnost u matematici ne treba biti isključivo korištenjem digitalnih programa. Evo nekoliko primjera zadataka otvorenog tipa koji su korišteni za timske radove u cjelini Geometrijska tijela u 8. razredu, a rješenja su učenici prikazali uživo i na papiru [2].
Traži se šator
Dimenzije šatora trebaju biti najmanje: 2 m dugačak, 1 m širok, 1 m visok. Šator treba imati sve stranice i pod od istog materijala. Oblik odaberite sami. Treba biti što jeftiniji, dakle što manje materijala je potrebno to bolje. Za koji oblik je potrebno najmanje materijala? Zašto ste odabrali baš taj oblik?
Kula za princezu
Tata želi napraviti drveni dvorac za princezu. Princeza je nacrtala nekoliko prijedloga, a vi odaberite jedan i izračunajte količinu potrebnog materijala. Ukupna visina dvorca treba biti najviše 150 cm, a širina 1 m. Za koji oblik je potrebno najmanje materijala? Zašto ste odabrali baš taj oblik?
Ljetna terasa
Roditelji žele napraviti ljetnu terasu s krovom (sjenicu). Na terasi treba biti mjesta za stol veličine 1 x 2 m i 6 osoba oko njega. Predložite oblik terase, ograde i krova i izračunajte potrebnu količinu drveta za izradu. Za koji oblik je potrebno najmanje materijala? Zašto ste odabrali baš taj oblik?
Učenici su na raspolaganju imali dva školska sata, s tim da je prvi sat bio namijenjen rješavanju zadatka, a drugi prezentaciji i ocjenjivanju. Svaka grupa od četiri učenika je trebala pripremiti trominutno predstavljanje svojeg rješenja. Kriteriji ocjenjivanja bili su: ispunjavanje uvjeta zadatka, točnost računa, kvaliteta predstavljanja i umjetnički dojam.
Važne komponente ovakvog načina rada bile su: razvijanje organizacijskih i prezentacijskih vještina, primjena matematičkih modela na kontekstualne zadatke, argumentirano raspravljanje te procjena svojeg i tuđeg rada.
Dobrobiti
S ovakvim načinom rada počela prije tri godine s jednim razredom učenika koji su izradu digitalnog udžbenika smatrali zabavnim i vrijednim poslom. Vidjevši što sve mogu napraviti odlučila sam svaku generaciju “malo pogurnuti” da naprave više i cijeli postupak učinio je i učenike i mene sretnijom i zadovoljnijom. Posebno veselje bilo je kad su učenici s prilagođenim programom matematike prezentirali svoje radove i kad sam ja ostala iznenađena onime što su napravili jer se ništa od toga nikad nije vidjelo na njihovim pisanim ispitima.
Učenici su pokazali kreativnost u stvaranju obrazovnih sadržaja, a njihove radove objavili smo na školskim mrežnim stranicama te tako stvorili digitalnu knjižnicu koju mogu svi koristiti. Online objavljivanje učeničkih radova i njihova javna vidljivost važna je iz nekoliko razloga. Tako da drugi učenici mogu učiti od njih, ali i da pokažemo učenicima da se njihov rad i trud cijeni i da smo ponosni na ono što su napravili.
Posebna dodana vrijednost je suradnički rad međunarodnih timova na takvim zadacima, primjerice u okviru eTwinning ili Erasmus + projekata.
Napravljeni rad obavezno treba pokazati pred cijelim razredom te uključiti cijeli razred kroz pitanja u kvizovima, zagonetke ili zanimljivosti. Na taj način učenici dosižu najvišu razinu učenja – poučavaju vršnjake. Po tome je metoda dobila i ime “Metoda 270° “- više od okreta (flip = 180°) ili sažeto “Svatko poučava svakoga uključivši i samog sebe”.
Literatura
[1] Lidija Kralj: Metoda 270 s primjerima učeničkih radova, http://bit.ly/270-primjeri
[2] Lidija Kralj: Geometrijska tijela – primjeri zadataka otvorenog tipa za timski rad, http://bit.ly/primjeri2
[3] Lidija Kralj: Yammer- poslovna mreža postaje obrazovna, Školske novine, veljača 2015
[4] Lidija Kralj: Yammer kao učinkovita virtualna učionica, Školske novine, ožujak 2015
Lidijin kutak 